Trigonométrie(cours)

-On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1, sur lequel on a choisi (arbitrairement) un sens de parcours : le sens inverse des aigiuilles d’une montre, appelé sens direct.

Remarque: Le sens des aiguilles d’une montre est appelé sens indirect, ou encore parfois sens rétrograde. Les points I et J appartiennent au cercle trigonométrique.

-Conversion en radian/degré:

-Mesure de l’angle orienté: y-x

-Mesure de l’angle principal:

Propriété: Si ( → u, → v) a pour mesure α, alors ses autres mesures sont les nombres réels de la forme α +2kπ, où k est un nombre entier relatif.

Remarque: On note alors : ( → u, → v) = α +2kπ (k ∈ Z), ou encore ( → u, → v) = α (modulo 2π).

Définition: Parmi toutes les mesures d’un angle orienté de vecteurs, il en existe une et une seule appartenant à l’intervalle ]−π ; π]. On l’appelle mesure principale de l’angle (~u,~v).

Exemple 1 : ( →OI , →OJ ) = π 2 +2kπ, et sa mesure principale est π /2 .

Exemple 2 : ( →OJ , →OI) = − π 2 +2kπ, et sa mesure principale est − π /2 .

Exemple 3 : ( →OI ,→ OJ’ ) = 3π 2 +2kπ, et sa mesure principale est − π /2 , puisque 3π /2 = 2π − π /2 et que − π /2 ∈ ]−π ; π].

Propriétés importante:

Pour tous vecteurs → u, → v et → w non nuls :

• ( → u, → v) = −( → v, → u);

• Si → u et → v sont colinéaires, alors ( → u, → v) = 0 ou π (modulo 2π) ;

• ( → u, → v) + ( → v, → w) = ( → u, → w). (Relation de Chasles pour les angles.)

Cosinus et Sinus:

On appelle cosinus de x et on note cos(x) l’abscisse du point M dans le repère (O ; I ; J). On appelle sinus de x et on note sin(x) l’ordonnée du point M dans le repère (O ; I ; J).

Propriété:

Pout tout nombre réel x :

• cos2 (x) +sin2 (x) = 1 ;

• −1 ≤ cos(x) ≤ 1 et −1 ≤ sin(x) ≤ 1 ;

• pour tout entier relatif k : cos(x+2kπ) = cos(x) et sin(x+2kπ) = sin(x).

A savoir par cœur:

Aide: Il est plus facile de retenir le cercle trigonométrique pour retenir ces valeurs:

Angles associés(important):

Équations trigonométriques:

Il y a 2 types d’équations que tu dois savoir résoudre : cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a).
Si cos(x) = cos(a) alors x = a + 2k π ou x = – a + 2k π
Si sin(x) = sin(a) alors x = a + 2k π ou x = π – a + 2k π

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